حساب إزاحة اهتزاز الأغشية الدائرية ودرجة حرارة القرص الدائري المعزول باستخدام دوال بيسل

الملخص

تتناول هذه الدراسة الصياغة الرياضية والتطبيقات الفيزيائية لمعادلة بيسل التفاضلية في تحليل الإزاحة الناتجة عن اهتزاز الأغشية الدائرية وتوزيع درجة الحرارة في الأقراص الدائرية المعزولة حرارياً. تُعد معادلة بيسل معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية ذات معاملات متغيرة، وتظهر بشكل طبيعي في المسائل التي تتسم بـ التماثل الأسطواني أو الشعاعي في مجالات الرياضيات التطبيقية والهندسة. يبدأ البحث باشتقاق معادلة بيسل باستخدام طريقة سلسلة فروبينيوس، ثم يتناول دوال بيسل من النوعين الأول والثاني مع التركيز على خاصية التعامد، والطبيعة التذبذبية، وأهميتها في تمثيل الظواهر المتعلقة بالموجات والحرارة.

ولحل المشكلات الفيزيائية ذات الشكل الدائري، اعتمدت الدراسة على توسيع فورييه–بيسل (Fourier–Bessel Series)، الذي يُعد امتداداً لتحليل فورييه التقليدي ليشمل المجالات الدائرية. تتيح هذه الطريقة تحديد إزاحة الغشاء بوصفها دالة في نصف القطر والزمن، إضافة إلى حساب التغيرات الحرارية داخل القرص الدائري المعزول. ومن خلال استخدام طريقة فصل المتغيرات، تم تحويل كلٍّ من معادلة الموجة ومعادلة الحرارة إلى الصورة التفاضلية الخاصة ببيسل، بحيث تلبي الحلول الناتجة الشروط الحدّية والابتدائية المطلوبة.

أظهرت النتائج أن توظيف دوال بيسل يوفر حلولاً تحليلية دقيقة للمسائل الفيزيائية ثنائية الأبعاد المعقدة، وهو ما يجعلها ذات أهمية كبيرة في مجالات تحليل الاهتزازات الميكانيكية والهندسة الحرارية والتحليل الصوتي والنمذجة الكهرومغناطيسية، حيث يُعد التماثل الأسطواني عاملاً أساسياً في تفسير السلوك الفيزيائي والتنبؤ به